| 概要 | Donaldson不変量とSeiberg-Witten不変量は, ともに4次元多様体の不変量である. 両者の背景にはある量子場の理論がある.
それらの理論の双対性から不変量の同値性がWittenにより予想され, 近年は大きな進展があった.
これらの不変量を境界つきの4次元多様体に対して定式化しようとすると, それぞれに対応して,
3次元多様体のFloberホモロジーとSeiberg-Witten Floerホモロジーを考える必要がある.
両者はともに無限次元空間におけるある種のMorseホモロジーである. Morse関数の役割を果たすのは,
前者ではChern-Simons汎関数, 後者ではChern-Simons-Dirac汎関数と呼ばれるものである.
Floerホモロジーの定式化とは別に, Chern-Simons汎関数それ自身を物理理論における汎関数とする3次元の場の理論は,
Chern-Simons理論と呼ばれる.
Chern-Simons理論における量子的な観測量は位相不変量を与えることがWittenにより示唆され,
数学的なアプローチにより実際に不変量が構成されている.
Donaldson不変量とSeiberg-Witten不変量の双対性を踏まえれば, Chern-Simons理論は,
Chern-Simons-Dirac汎関数それ自身を汎関数とする3次元の場の理論と何らかの関係があろうと安直には期待できる.
しかし汎関数の計量依存性から, この「Chern-Simons-Dirac理論」は安直には3次元多様体の位相不変量を与えない.
この点を回避して位相不変量を構成する方針およびその進展についてを, この講演で話すつもりである.
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