| 概要 | Gaussによるレムニスケートの五等分は虚数乗法論の一例であった．高木貞治は楕円函数
の虚数乗法論を完成させたのち，その「対応」が必ずしも虚数乗法論という幾何学的実現
をもたない形で一般の代数体で成り立つこと（類体論）を示した（1920年代）．類体論は
各素数pに対するp進体上の理論（局所類体論）に分解されたが（1930年代），局所類体論
はつねに幾何学的実現をもつことをLubin-Tateが示した（1960年代）．非可換類体論
（Langlands対応）も，特殊な場合の幾何学的実現（志村多様体論）の発見が先行し，必
ずしも志村多様体に現れない場合も一般の代数体上で予想が定式化された（1970年代）．
これも局所理論に分解し，局所Langlands対応はつねに幾何学的実現（非可換Lubin-Tate
理論）をもつ．局所Langlands対応はこの幾何学な形で，志村多様体を用いて示された
（1990年代）が，いまだ局所体上の議論のみでは証明できない．これらの流れを概観する．
この非可換Lubin-Tate理論は，Lubin-Tate空間またはp進上半空間と呼ばれる「p進対称
空間」のコホモロジー群に標準的に実現される．これは代数的整数論とGL(n)の表現論を
つなぐLanglands対応の神秘的な部分がもっとも直接的に現れた幾何学的構造ともいえる
が，まだ解明されていないことが多い．馴分岐という簡単な場合に，Deligne-Lusztig多
様体・アフィンHecke環の作用などを通して局所Langlands対応の仕組みが見える様子を解
説する．暴分岐の場合の構造もようやく解明され始めている． |