| 概要 | コルモゴロフによる三次元一様等方乱流の統計理論に関連して，オイラー
方程式の解でその滑らかさがないために本来保存されるはずのエネルギーを
保存しないような解の存在をオンサーガーが予測している．これに対応して，
オイラー方程式のヘルダー連続な弱解の研究が現在活発に行われている．そ
の中でもオイラー方程式の「散逸的弱解」なるものが乱流統計則を理解する
上でのキーワードになりつつある．本講演の前半では，乱流を一つの確率過
程と見なして現在の乱流統計理論を再構築し，その中における，乱流場のサ
ンプルとしてのオイラー方程式の散逸的弱解の位置づけを概観する．
この概観をうけて得られる問題意識をベースにして，数学的な取扱いが比
較的容易な二次元の流れの問題を考える．二次元乱流においてもその統計則
を維持する一つのメカニズムとしてオイラー方程式の保存量であるエンスト
ロフィーの特異散逸(anomalous enstrophy dissipation)が知られてい
る．講演の後半では二次元オイラー方程式におけるエンストロフィーを保存
しないような特異な解の研究を通して，こうした散逸的弱解の流体力学的な
性質を明らかにする．具体的にはオイラー方程式の正則化方程式の一つであ
るオイラーα方程式を考え，その渦度分布がδ関数であるとした場合に得られ
るα点渦系の解析を行い，有限時間で三点渦が自己相似的に衝突する現象が
特異なエンストロフィー散逸に関係することを見る．時間があれば今後の研
究の方向や展望についても議論したい．
なお，本研究の前半は明治大学名和範人教授および京都大学松本剛助教と
の共同研究に基づいている． |