| 概要 | 円周の向きを保つ同相写像の回転数は, 行列に対するトレースの類似と
見なすことができ, 単独の同相写像による力学系を記述する上で有用な
共役不変量である. この講演では, 複数の元により生成される群の円周への
作用がいくつかの元の回転数により決定されうることを紹介する.
モジュラー群PSL(2,Z)など二つの有限群の自由積の作用の円周への作用を
考える. この講演では, それぞれの生成元およびそれらの積の回転数が
フックス群としての作用と等しければフックス群としての作用と準共役で
あることを紹介する. この結果は, ２元生成自由群のSL(2,R)への表現が
二つの生成元およびそれらの積のトレースによって共役を除いて一意に定まる
というFrickeの古典的結果の無限次元版の類似と見なせる. また, 松元および
Burger-Iozzi-Wienhardによる曲面の基本群の円周への作用のうちでの
フックス群としての作用の(有界)オイラー数を用いた特徴付けとの関連に
ついても触れたい.
Rotation number of an orientation-preserving homeomorphism of the
circle can be regarded as an analogue of the trace of a matrix and
it is a conjugacy invariant which is useful for describing dynamics
of a single homeomorphism. In this talk, we show that an action of
a group generated by more than one element on the circle can be
determined by rotation number of several elements.
We consider actions of the free product of two finite groups such
as the modular group PSL(2,Z) on the circle. We show that the action is
semiconjugate to a Fuchsian action if they have the same rotation
number for generators and their product. This result can be regarded
as an infinite-dimensional analogue of Fricke's classical result,
which claims that a representation of a free group on two generators
to SL(2,R) is uniquely determined by the trace of generators an
their products up to conjugacy. I also would like to mention a
characterization of a Fuchsian action among actions of the fundamental
group of a surface in terms of (bounded) Euler number due to Matsumoto
and Burger-Iozzi-Wienhard. |